Практические упражнения
9.6.4. О неподвижных точках
Чему равны неподвижные точки для следующих значений с, есть ли среди них точка притяжения и если есть, то какая?
О с = 0; О с = 1 + г; О с = -2; О с -2 + 1.
9.6.5. Когда имеется неподвижная точка притяжения?
Опишите форму области на плоскости с, для которой система (.)2 + с имеет неподвижную точку притяжения. Все ли значения с находятся внутри множества Мандельброта?
Приближение к бесконечности
9.6.6. Почему множество Мандельброта симметрично?
Зеркальное отражение числа c = x + yi относительно оси х представляет собой число, сопряженное (conjugate) числу с: с* = х - у'г. Как связана орбита, найденная для числа с*, с орбитой, соответствующей числу с? (Подсказка: (г*)2 = (г2)*.) Используйте это соотношение для доказательства того, что с* принадлежит множеству М тогда и только тогда, когда этому множеству принадлежит с.
9.6.3. Определение того, находится ли точка с в пределах множества Мандельброта Нам нужна подпрограмма, которая может определить, принадлежит ли данное комплексное число с множеству М. При стартовой точке s - 0 эта подпрограмма должна определить размер чисел dk вдоль орбиты согласно уравнению (9.13). С ростом k значение или «взрывается» (тогда с не принадлежит М), или нет (тогда с принадлежит М). Одна из теорем комплексного анализа гласит о том, что если значение какого-либо \dk\ превысит 2, то орбита взорвется в некоторой точке. Число итераций, необходимое для того, чтобы \dk\ превысило 2, называется временем жизни (dwell) данной орбиты (возможно, термин происходит от того, как долго орбита «живет» в области).
Если же точка с лежит внутри М, то соответствующая орбита имеет бесконечное время жизни, и мы не можем узнать об этом без бесконечного итерирования. Лучшее, что тут можно сделать, - это задать верхний предел Num максимального числа итераций, которое мы готовы ожидать. Типичное значение для Num = 100. Если Щ не превосходит числа 2 за Num итераций, то мы предполагаем, что оно и не превзойдет его никогда, и приходим к выводу, что точка с находится внутри М. Часто случается, что орбиты для значений с, лежащих сразу за границей М, обладают чрезвычайно большим временем жизни, и если это время жизни превосходит Num, то мы ошибочно считаем их лежащими внутри М. (Можно ли когда-нибудь ошибиться относительно точек с, лежащих внутри М?) Следовательно, если рисовать множество Мандельброта на базе слишком малого значения Num, то оно получится несколько большим, чем должно быть на самом деле.