Полиномиальные кривые третьей степени и выше Кривые, параметризируемые полиномами первой и второй степеней, имеют вполне понятный вид. Положение, однако, усложняется, когда степень полиномов становится выше. Седерберг [Sederberg, 180]

11.2. Описание кривых полиномами показал, что для любых полиномиальных функций х(г) и у(р) всегда можно найти неявную форму, в то время как параметрическая форма может быть найдена в общем случае, только если неявная форма имеет первую или вторую степень.

При дальнейшем рассмотрении кривых Безье и В-сплайнов нашей основной «рабочей лошадкой» будет кубический полином; мы увидим, что он является мощным инструментом для создания кривых. Однако все эти методы не могут работать с неявной формой и пытаются параметризировать ее. Фактически они начнут с набора «контрольных точек», задаваемых дизайнером, применят определенный алгоритм для генерирования точек кривой и получат эту кривую вне зависимости от того, какой неявной форме эта кривая удовлетворяет. Во многих случаях это представляется более естественным способом создания кривых, чем чисто математический подход.

Прежде чем закончить описание аналитического подхода к созданию кривых, рассмотрим вкратце класс функций, называемых рациональными полиномиальными функциями (rational polynomial functions), или рациональными дробями; позднее мы исследуем его более полно. (Как мы увидим впоследствии, именно эти функции являются основой NURBS, non-uniform rational B-spline - неоднородного рационального В-сплайна.) При первом взгляде на рациональные полиномы можно увидеть, как задание лишь нескольких точек может определить форму всей кривой. Из этого следует важный результат: конические сечения могут быть точно представлены отношением двух квадратичных полиномов.

Рациональные параметрические формы Рассмотрим параметризации, для которых каждая из функций х(.) и т/(.) определена как отношение (ratio) двух полиномов. Линейный случай рассматривается в упражнениях. Рассмотрим здесь случай квадратичных полиномов, особо выделяя параметрическую форму следующего вида:


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒