6. Покажите, что триангуляция Делоне однозначно определена, если никакие 4 точки набора £ не принадлежат одной окружности.

Глава 9

Преобразования в пространстве, проектирование

Обратимся теперь к трехмерному случаю (ЗЭ) (З-сНтепзюп) и начнем наше рассмотрение сразу с введения однородных координат.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, г), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, г, 1) или, более общо, на четверку

{кх, ку, \\2, к), к * 0.

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

А. Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол (рг.

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол х-

Замечание. Полезно обратить внимание на место знака "-" в каждой из трех приведенных матриц.

9. Преобразования в пространстве, проектирование Б. Матрица растяжения (сжатия): где ос > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс; Р > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат; у > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.

В. Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху\

Матрица отражения относительно плоскости уг:

Матрица отражения относительно плоскости 2х\

Г. Матрица переноса (здесь (Я, /л, у) - вектор переноса):

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒