]>Х(М) = 1, 0<Вш(и)<\.
1=0Но поскольку каждая функция Bidотлична от нуля только на d+l интервалах, то каждая опорная точка оказывает влияние только на тот участок суммарной кривой, который лежит внутри оболочки, образованной d+\ опорной точкой.
Рис 10.27. Три первые базисные функции Кокса-де Бура Множество базисных функций В-сплайна определяется заданной степенью сплайна и массивом узлов. Учтите, что, поскольку для определения сплайна в диапазоне от и0 до н,м необходимо располагать рекурсивными функциями, отличными от нуля в узлах от uQ до u„.d, нам понадобятся d-\ "дополнительных" значений в узлах. Эти дополнительные значения определяются ограничениями, которые можно наложить на характеристики результирующей В-сплайновой кривой в начальной и конечной точках.
Обращаю также ваше внимание и на то, что мы не накладываем никаких ограничений на значения в узлах, кроме как ик < ик+]. Если считать, что результат деления 0/0 при вычислении по рекурсивным формулам равен 1, то мы можем иметь повторяющиеся, или кратные, узлы. При постоянном шаге между узлами сформированный В-сплайн называется равномерным (uniform spline), но можно обеспечить большую гибкость при формировании кривых, если позволить не только неравномерное размещение узлов, но и наличие кратных (ик = м*+1) узлов. Кратко проанализируем открывающиеся при этом возможности.
10.8.2. Равномерные В-сплайны
Рассмотрим последовательность равноотстоящих узлов {0,1,2,…,«}. Кубический В-сплаин, который был рассмотрен в разделе 10.7, можно построить на основе формул Кокса-де Бура на равноотстоящих узлах. Будем использовать нумерацию узлов, принятую в формулах Кокса-де Бура. Участок сплайн-кривой между узлами к и к+\ будем формировать по подмножеству опорных точек р*_ь рк, рк+], р/с+2. Следовательно, получим кривую, определенную только на интервале от и=1 до и=п-\. Для опорных точек, расположенных так, как показано на рис. 10.28, мы построим кривую, которая не пересекает узлы. В некоторых случаях (один из них показан на рис. 10.29) удается использовать периодичность в расположении опорных точек и построить сплайн, который проходит через эти точки. Такой равномерный периодический В-сплайн (uniform periodic B-spline) обладает тем свойством, что каждая базисная функция представляет собой сдвинутый образ единственной функции.