При заданных внешних силах g и состоянии системы частиц и в момент времени / можно вычислить

ёг=[ м3 м4 м5 ~кЛ% -Ы> -Ы. и9 и10 ии Ых Ы. ^.

Здесь к - постоянная упругости пружины, а а"х, с!х., а1. - компоненты нормированного вектора между а и Ь. Следовательно, сначала необходимо вычислить Программа решения обычных дифференциальных уравнений требует, чтобы мы вычисляли функцию g для экстраполяции состояния и на будущее. Можно разработать набор таких программ, основываясь на теореме Тейлора. Простейший метод этой группы известен как метод Эйлера. Предположим, что интегрируется выражение на коротком промежутке времени И:

|('+''ш/т = и(/ + п) - и(/) = |'+'^(и,т)^т.

Если И мало, можно заменить значение g на интервале [/, значением g в момент /; следовательно, и(1+И)« и(0+^(и(/), 0.

Из этого выражения следует, что для приближенного вычисления значения и{(+Н) используется значение производной в момент времени / (рис. 11.5).

Это выражение учитывает два первых члена разложения функции в ряд Тейлора; мы можем записать его в виде и(1 + п) = и(1) + пй(!) + 0(п2) = и(() + п£(и({),г) + 0(п2).

Из этого выражения видно, что ошибка аппроксимации пропорциональна квадрату шага интегрирования.

Реализовать этот метод не представляет особого труда. Нужно вычислить значения сил (как внешних, так и сил взаимного влияния частиц системы друг на друга) в момент времени /, вычислить массив обобщенных сил g, умножить его на И и добавить к массиву теку-

Решение системы уравнений

11.4. Решение системы уравнений щего состояния. По этому методу в итерационном цикле вычисляются состояния системы и в последующие моменты времени 1+2И, 1+З/1,... . Основные вычисления - определение массива обобщенных сил в каждый момент времени.

Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера

Рис. 11.5. Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера Применение метода Эйлера требует тщательного выбора шага интегрирования, поскольку от него зависит точность результата и устойчивость итерационной вычислительной процедуры. Точность вычисления пропорциональна квадрату шага интегрирования. Следовательно, для повышения точности нужно уменьшать шаг, что увеличивает количество циклов итерации и соответственно время решения. Но еще более серьезные опасения вызывает проблема устойчивости вычислительной процедуры. При переходе к очередному циклу у нас появляются ошибки, источниками которых являются, во-первых, использование для приближения только первых членов разложения в ряд Тейлора, а во-вторых, ограниченная разрядность компьютера. Эти ошибки могут либо компенсировать друг друга, либо, наоборот, суммироваться и, следовательно, накапливаться. Такое поведение вычислительного алгоритма принято называть вычислительной неустойчивостью. К счастью, в большинстве задач, связанных с анализом состояния системы материальных точек, используются достаточно простые модели сил, а потому при правильном выборе шага интегрирования неустойчивость не отмечается. Потенциально наиболее подверженной вычислительной нестабильности оказывается модель, в которой учитываются силы упругого взаимодействия. Дело в том, что при определенных значениях коэффициентов жесткости, входящих в уравнения Гука, даже точное решение имеет колебательный характер, а потому наложение на него ошибок численного интегрирования делает вычислительный алгоритм склонным к "самовозбуждению".


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒