Операция умножения матрицы на скаляр определена для матриц А любого размера. Матрица результата образуется в результате поэлементного перемножения исходной матрицы на скалярный множитель а: аА=[аа„].
Операция сложения матриц определена только для пар матриц равного размера. Элементы новой матрицы- суммы матриц- являются суммами одноименных элементов матриц-слагаемых: С = А + Ъ=[а9+Ь„].
Операция умножения матрицы А размера п х / на матрицу В размера / х т формирует матрицу произведения размером п х т: С = АВ =[>„].
где Операция перемножения имеет смысл только для квадратных матриц-сомножителей равного размера или для прямоугольных матриц, у которых количество столбцов матрицы множимого А равно количеству строк матрицы множителя В. Будем говорить, что матрица А умножается справа на матрицу В или что матрица В умножается слева на матрицу А.
Операция умножения матрицы на скаляр подчиняется простым правилам, которые справедливы для любых матриц А и скаляров а и (3: а((ЗА) = (сф)А, сфА=(ЗаА.
Эти правила вытекают из того, что операция умножения матрицы на скаляр сводится к операциям над скалярными элементами матрицы и скалярным множителем. Операция сложения матриц является коммутативной, т.е. для любых матриц А и В размера п х т выполняется соотношение А + В = В + А.
Эта операция обладает также свойством ассоциативности, т.е. для любых трех матриц А, В и С размера п х т справедливо равенство А + (В + С) = (А + В)+С.
Приложение В. Матрицы
Свойством ассоциативности обладает и операция умножения матрицы на матрицу: А(ВС) = (АВ)С, но эта операция не является коммутативной. При этом не только отличаются произведения, т.е. АВ Ф ВА, но и вполне вероятно, что одно из произведений существует, а второе - нет. Из этого утверждения следует, что в графических приложениях, где матрицы представляют преобразования объектов (сдвиг, поворот и т.д.), порядок выполнения отдельных преобразований имеет существенное значение. Поворот, за которым последует сдвиг, даст результат, совершенно отличный от того, который получится при выполнении сдвига, а затем поворота.