drf[iW, (2.5)что означает величину, получившуюся после того, как функция /(.) будет k раз применена к d0. (Замечание: это не означает, что f(dQ) возведено в k-ю степень.) Мы можем также использовать рекурсивную форму и записать
dk = f(dki) для k - 1,2, 3,для заданной величины d0.
Последовательность величин dQ, d[t dy dv dv … называется «орбитой dQ* («orbit of dQ») для данной системы.
Пример. Орбитой 64 для функции/(.) - у[. является последовательность 64,8,2,8284,1,68179, а орбитой 10 ООО - 10 ООО, 100,10,3,162278,1,77828,… (Чему равна орбита 0? Чему равна орбита 0,1?)
Пример. Орбита 7 для функции «дубликатора»/(.) - 2(.) равна 7, 14, 28, 56, 112,…, k-й итерацией является 7 * 2*.
Пример. Орбита 1 для функции/(.) - sin(.) может быть вычислена при помощи карманного калькулятора: результаты составляют последовательность 1, .8414, .7456, .6784, ....которая очень медленно сходится к 0. (Чему равна орбита 1 для cos(.)? В частности, к какой величине сходится эта орбита?)
Проект 1. Вычерчивание последовательности «градин» (Hailstone Sequence)
Рассмотрим процесс итерации не вполне тривиальной функции, которую назовем «град»: \х/2, если х- четное; Л*) = Ь ^ (2.6) [Зл' + 1, если х - нечетное. v '
Четные аргументы делятся пополам, в то время как нечетные увеличиваются. Например, орбита 17 для этой функции равна последовательности 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1,… Как только достигается величина два, последовательность падает «как граднна» до единицы, после чего оказывается в коротком повторяющемся цикле (каком?), то есть скачет подобно градине по земле. Теперь рассмотрим вопрос, на который у математики пет ответа.
Вопрос без ответа. Всякая ли орбита падает до единицы?
Иными словами, существует ли положительное целое число, которое при использовании его в качестве начальной точки итерации для данной функции «град» не обязательно падает до единицы? Никто не знает этого, хотя особенности этой последовательности подробно исследовались (см. [Hayes, 100] или многочисленные источники в Интернете, например www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/).