В природе существуют примеры статистического самоподобия. Классическим примером такого рода является береговая линия. При взгляде со спутника у нее имеется определенная степень изрезанное™, образуемая заливами, бухтами и полуостровами. Если пролететь над ней ниже, то можно увидеть больше подробностей. Залив приобретает свою собственную неровность, которую раньше не было видно. При дальнейшем увеличении масштаба можно обнаружить, что отдельные валуны и изгибы пляжа придают виду аналогичную изрезанность. Если приблизиться еще больше, то мелкие камни и галька обеспечат примерно такую же степень неровности. Этот процесс продолжается при разглядывании отдельных песчинок, уже под микроскопом. Некоторые другие природные явления также являются самоподобными, например ветви дерева, поверхность губки, трещины на тротуаре, кровеносная система животных. Облака также приблизительно подобны самим себе и являют собой любопытный пример: пролетая на самолете, непросто определить размер облака. Является ли оно маленьким и близким или большим и далеким?
В 70-е годы Бенуа Мандельброт из Йельского университета (в тогдашнем Исследовательском центре фирмы IBM) обобщил и популяризовал исследования природы самоподобия (см., например, [Mandelbrot, 136]). Он назвал различные формы самоподобных кривых фракталами (fractals)1. Прямая линия является одномерной, а плоскость - двумерной, однако существуют «создания» и в промежутке между ними. Например, мы можем определить кривые бесконечной длины, однако лежащие внутри конечного прямоугольника: их размерность располагается где-то между 1 и 2.
Работа Мандельброта и других исследователей породила невероятное количество исследований природы фракталоподобных объектов, как в области математики, так и компьютерной графики, и это увлечение продолжается во многих научных центрах во всем мире.
Очень сложные кривые можно получить рекурсивно посредством многократного «усложнения» простой кривой. Вероятно, простейшим примером такого рода является кривая Коха (Koch curve), открытая в 1904 году шведским математиком Хельгом фон Кохом (Helge von Koch). Эта кривая вызвала огромный интерес в математическом мире, поскольку она образует бесконечно длинную линию внутри области конечной площади [Gardner, 76].