Френсис Хилл

Рис 3.60. Семейство супергипербол

3.8.4. Формы в полярных координатах Для представления ряда интересных кривых можно использовать полярные координаты. Как показано на рис. 3.61, каждая точка кривой задана углом 0 и радиальным расстоянием г. Если и г и 9 являются функциями от t, то при изменении t развертывается кривая (г(с), 0(0)- Конечно, эту кривую можно представить и в декартовых координатах (x(t), y(t)), где

*(f) = r(Ocos(0(O), , 1Q

y(t) = r(Osin(0(O). V'™>

3.8. Применение параметрического задания кривой

Френсис Хилл

Рис 3.61. Полярные координаты Однако для большинства замечательных кривых возможно упрощение. В этих случаях радиус г выражается явной функцией от 0, причем параметром, пробегающим всю кривую, является сам угол 0. Для каждой точки (г, 0) соответствующая точка в декартовых координатах (х, у) вычисляется по формулам:

'"К, (3-20) t/=/(0)sin(0). '

Кривые в полярных координатах можно создавать и рисовать так же просто, как и любые другие. Параметром является угод 0, который должен изменяться в промежутке, соответствующем данной форме. Простейшим примером является круг радиуса К (то есть/(0) - К). Формула /(0) - 2Kcos(0) представляет другую простую кривую (какую?). На рис. 3.62 изображено несколько кривых, имеющих в полярных координатах простые выражения. Вот некоторые из них.

О Кардиоида: /(0) - Щ t cos(0)).

О Розы: /(0) - JCcos(w9)), где п определяет число лепестков розы. Показано два варианта. О Спираль Архимеда: /(0) - Кв.

В каждом из этих случаев константа К определяет общий размер кривой. Поскольку кардиоида является периодической функцией, она может быть нарисована при изменении 0 от 0 до 2я. Розы являются периодическими при целом п, а спираль Архимеда непрерывно растет по мере увеличения 0 от нуля. Форма этой спирали широко применяется в качестве эксцентрика для преобразования кругового движения в линейное (см. [Yates, 217] и [Seggern, 182]).

Френсис Хилл

Рис. 3.62. Примеры кривых, задающихся простыми формулами в полярных координатах Конические сечения (эллипс, парабола и гипербола) имеют общую полярную форму записи:


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒