Это равносильно известному факту, что перпендикулярные прямые имеют взаимно обратные и различающиеся знаком угловые коэффициенты (к, - -1/к2). В главе 5 мы увидим, что операция «переставить и сменить знак» (interchange and negate*) естественным образом появляется в связи с поворотом на 90°.

4.3. Скалярное произведение мальным к вектору а. Существует бесчисленное множество векторов, нормальных к любому вектору а, так как любое скалярное кратное (scalar multiple) вектору b, то есть вектор Ь, умноженный на скаляр, например (-21,12) и (7, -4), тоже нормально к а. (Нарисуйте на бумаге несколько таких векторов для заданного а.)

Удобно иметь символ для одного исключительного вектора, нормального к заданному двумерному вектору а. Для этой цели мы будем использовать символ «1» («регр», произносится «перп»). Определение. Пусть а = (ах, ау). Тогда

^ = '-ау1ах) (4.20) называется перпендикулярным против часовой стрелки (counterclockwise perpendicular) к а.

Френсис Хилл

Рис. 4.12. Вектор а1, перпендикулярный к а Отметим, что а и а1 имеют одну и ту же длину: |а| = |ах|. На рис. 4.12, а показаны произвольный вектор а и результирующий вектор а1. Отметим, что движение от направления а к направлению а1 требует левого поворота. (Правый поворот эквивалентен повороту в направлении к -а1.)

В следующем разделе мы покажем, как лучше всего использовать это обозначение. На рис. 4.12, б показано, что в случае трех измерений не существует единственного вектора, перпендикулярного к заданному трехмерному вектору а, поскольку таковым является любой вектор, расположенный в плоскости, перпендикулярной к а. В то же время для работы с такими векторами существует простой инструмент - векторное произведение, к которому мы обратимся позже.

Практические упражнения

4.3.5. Некоторые замечательные свойства а1

В ряде случаев полезно рассматривать символ «перп» (1) как оператор, выполняющий над своим аргументом операцию «левый поворот на 90°», и в этом случае а1 является вектором, полученным в результате применения оператора 1 к вектору а, подобно тому как -fx есть величина, полученная в результате применения к x оператора «квадратный корень». Рассматривая оператор 1 с этой точки зрения, покажите, что он обладает следующими свойствами:


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒