Френсис Хилл

Рис. 4.28. Переход между представлениями прямой Практическое упражнение

4.5.7. Нахождение точечной нормальной формы Найдите точечную нормальную форму для прямой, проходящей через точки (-3,4) и (6, -1). Нарисуйте на миллиметровке эту прямую и нормальный к ней вектор.

Плоскости в трехмерном пространстве Поскольку в трехмерной графике интенсивно используются многоугольники, кажется, что плоскости появляются всюду. Многоугольник («грань» объекта) располагается в плоскости своего «родителя», и нам часто приходится отсекать объекты относительно плоскостей или находить плоскость, в которой располагается определенная грань.

Подобно прямым, плоскость имеет три основные формы: трехточечную форму, параметрическое представление и точечную нормальную форму. Мы уже рассматривали трехточечную форму в разделе «Нахождение нормали к плоскости».

Параметрическое представление плоскости Параметрическая форма для плоскости построена из трех составляющих: одной из ее точек, С, и из двух (непараллельных) векторов, а и Ь, расположенных в данной плоскости, как показано на рис. 4.29. Если нам даны три (неколлинеарные) точки А, В и С плоскости, то в качестве векторов можно взять а = А - С и Ь = В - С.

Для построения параметрической формы для этой плоскости отметим, что любая точка на данной плоскости может быть представлена с помощью следующей векторной суммы: точка С плюс некоторое скалярное кратное вектору а плюс некоторое скалярное кратное вектору Ь. Используя для обозначения этих скалярных кратных параметры 5 и и имеем С + эа + гЬ. Из этого следует требуемая параметрическая форма: Р^, 0 - С + ах + Ьг. (4.43)

4.5. Отображение ключевых геометрических объектов Задаваясь любыми значениями я и £, мы можем идентифицировать соответствующую точку на плоскости. К примеру, положение s = t•'0 есть сама точка С, а значениям 5 = 1 и г = -2 соответствует точка Р(1,-2) = С + а-26.

Френсис Хилл

Рис. 4.29. Параметрическое задание плоскости Заметим, что в параметрическое выражение поверхности включены два параметра, в то время как для кривой требуется только один параметр. И действительно, если один из параметров зафиксирован (скажем, s = 3), то Р(3, t) уже является функцией одной переменной и представляет прямую линию: Р(3, г) = (С+За) + Ы.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒