-7- Ь (точка пересечения). (4.54)

1-А +

Пример 4.6.1

Имея концевые точки А - (0,6), В - (6,1), С - (1,3) и И - (5,5), найдите точку пересечения отрезков АВ и СЮ, если таковая существует. Решение б1 • 6 = -32, откуда г - 7/16 и и - 13/32, то есть значения обоих параметров располагаются между 0 и 1. Следовательно, данные отрезки пересекаются. Точка пересечения имеет координаты (х, у) - (21/8,61/16). Полученный результат можно подтвердить визуально, если построить отрезки на миллиметровке и определить координаты искомой точки пересечения.

4.6. Определение точки пересечения двух отрезков прямой Случай 2. Произведение d1- b равно нулю В этом случае нам известно, что векторы d и b параллельны. (Почему?) Отрезки тем не менее могут перекрываться, однако это может произойти только в том случае, если параллельные порождающие прямые идентичны. Проверка этого условия рассматривается в одном из приведенных ниже упражнений.

Практические упражнения В этих упражнениях рассматривается разработка подпрограммы, которая выполняет полное тестирование двух отрезков прямых на пересечение.

4.6.1. Случай перекрывающихся порождающих прямых Рассмотрим случай 2 этого раздела, когда произведение d1 • b - 0, то есть порождающие прямые параллельны. Нам необходимо выяснить, являются ли порождающие прямые идентичными, и если являются, то перекрывают ли отрезки друг друга.

Чтобы проверить, являются ли порождающие прямые одной и той же прямой, посмотрим, располагается ли точка С на порождающей прямой, проходящей через An в.

1. Сначала докажите, что уравнением для порождающей прямой является Ьх(у - Ах) - Ьу(х - Ау) = 0. Затем подставьте Сх вместо х и Су вместо у и посмотрите, является ли левая часть уравнения достаточно близкой к нулю (то есть является ли ее значение меньшим некоторого допуска вроде 10~8). Если нет, то порождающие прямые не совпадают и пересечения нет.

2. Если порождающие прямые совпадают, то нужно проверить, перекрываются ли данные отрезки прямых. Для выполнения этой проверки покажите, как найти такие два значения tc и td, при которых прямая, проходящая через точки An в, достигает соответственно точек С и d. Поскольку порождающие прямые идентичны, то можно использовать только дг-компонент. Отрезок AB начинается в 0 и заканчивается в 1; тогда, последовательно подставляя четыре значения параметра: 0, 1, tc и td, можно без труда определить относительное положение этих двух отрезков.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒