Пример 5.2.9. Поворот вокруг точки Преобразование, которое уже изучалось в примере 5.2.5, состоит из поворота на 30° относительно точки (-2, 3) и имеет следующую матрицу:

Френсис Хилл

Как показано на рис. 5.22, б, в этом случае координатный фрейм преобразуется в новый координатный фрейм с началом отсчета (1,232,1,402,1) и координатными осями, задаваемыми векторами (0,866, 0,5,0) и (-0,5,0,866,0). Отметим, что эти оси остаются перпендикулярными, поскольку осуществлялся только поворот.

Относительные пропорции сохраняются Аффинные преобразования имеют еще одно полезное свойство. Рассмотрим точку Р, расположенную на части г расстояния между двумя заданными точками А и В, как показано на рис. 5.23. Применим аффинное преобразование Т( ) к точкам А, В и Р. Мы утверждаем, что преобразованная точка Т(Р) также располагается на той же части £ расстояния между образами точек Т(А) и Т(В). Это нетрудно показать. (См. упражнения в конце данного раздела.)

Френсис Хилл

Рис. 5.23. Относительные пропорции сохраняются В частности, середины отрезков преобразуются также в середины отрезков. Это свойство приводит к замечательному геометрическому результату: диагонали любого параллелограмма делят друг друга пополам. (Доказательство. Любой параллелограмм является аффинно-преобразованным квадратом (почему?), а поскольку диагонали квадрата при пересечении делятся пополам, то и диагонали параллелограмма также делят друг друга пополам.) То же самое относится и к трехмерному пространству: диагонали любого параллелепипеда делят друг друга пополам.

Заметим, в качестве любопытного отступления, что кроме сохранения прямых, параллельности и относительных пропорций аффинные преобразования сохраняют эллипсы и эллипсоиды, как мы увидим в главе 6.

Глава 5. Преобразования объектов Влияние преобразований на площади фигур В приложениях по тематике автоматизированного проектирования (computer-aided design - CAD) часто возникает необходимость вычислить площадь или объем объекта. Например, как изменяется площадь полигона, когда все его вершины подвергаются аффинному преобразованию? Геометрически понятно, что ни перемещения, ни повороты никак не влияют на площадь фигуры, однако масштабирования точно влияют, а может ли повлиять сдвиг, пока неясно.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒