В случае трех измерений дела обстоят несколько сложнее. Матрица М размером четыре на четыре, представляющая трехмерное аффинное преобразование, может быть записана в виде: М = (перемещение) (масштабирование) (поворот) (сдвиг,) (сдвиг2), то есть как произведение (читается справа налево) матрицы сдвига, еще одной матрицы сдвига, матрицы поворота, матрицы масштабирования и матрицы перемещения. Этот результат рассмотрен в тематическом задании 5.6.

Практические упражнения 5.2.24. Обобщение аргумента Докажите, что если W- аффинная комбинация из N точек РР i = 1,..., N,aT() - аффинное преобразование, то Т( W) является той же самой аффинной комбинацией N точек: T(Pt), i = 1,..., N.

(5.22)

Эта величина может быть отрицательной. Приведите пример, когда это происходит.

5.3. Трехмерные аффинные преобразования

5.2.25. Доказательство сохранения относительных пропорций Рассмотрим точку Р, заданную уравнением А + Ы, где Ь = В - А. Найдите расстояния \Р - А\ и \Р - В\ соответственно от точки Р до точки А и от точки Р до точки В и докажите, что они относятся друг к другу, как г к 1 - £. Будет ли это верно, если £ выходит за пределы промежутка от 0 до 1? Проделайте то же самое для расстояний \Т(Р) - Т(А)\ и \Т(Р) - Т(В)\.

5.2.26. Влияние на площадь Докажите, что двумерное аффинное преобразование приводит к умножению площади фигуры на множитель из уравнения (5.22). (Подсказка: представьте, что геометрическая фигура состоит из множества маленьких квадратиков, каждый из которых преобразуется в параллелограмм, и затем найдите площадь этого параллелограмма.)

5.3. Трехмерные аффинные преобразования К трехмерным аффинным преобразованиям применимы те же идеи, что и к двумерным аффинным преобразованиям, однако выражения будут, конечно, более сложными, к тому же наглядно представить эффект трехмерного преобразования значительно труднее.

Снова будем использовать координатные фреймы и предположим, что у нас есть начало отсчета в и три взаимно перпендикулярных оси в направлениях 1,) и к (см. рис. 4.18). Точка Р в таком фрейме задается уравнением Р=*Ь + Р\ + Р$+Рк, и, следовательно, имеет представление:


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒