М=М2М1. . (5.30)

Таким способом можно компоновать любое количество аффинных преобразований, и в результате получится одна матрица, представляющая суммарное преобразование.

Глава 5. Преобразования объектов

Френсис Хилл

Рис. 5.27. Компонование трехмерных аффинных преобразований На рис. 5.27 показан пример, в котором сарай сначала преобразуется с помощью некоторой матрицы М,, после чего преобразованный сарай снова преобразуется с использованием матрицы М2. Результат совпадает с тем, который получится при одном преобразовании этого сарая с матрицей M2MV

5.3.3. Комбинирование поворотов Результаты! Ну, конечно, я получил кучу результатов. Теперь я знаю тысячи вещей, которые не будут работать.

Томас А. Эдисон (Thomas A. Edison)

Одно из самых важных различий между двумерными и трехмерными преобразованиями заключается в способе сложения поворотов. В двумерном случае два поворота, например кф{) и Я(Р2), при сложении дают /?(Р, + Р2), причем порядок, в котором складываются эти повороты, значения не имеет. В случае трех измерений дело обстоит намного сложнее, поскольку повороты могут происходить вокруг различных осей. Порядок, в котором осуществляются два поворота вокруг различных осей, имеет значение: трехмерные матрицы поворота некоммутативны. В этом разделе мы исследуем некоторые свойства трехмерных поворотов, изучим различные способы представления поворота и посмотрим, как создавать повороты для решения конкретной задачи.

Поворот в трех измерениях обычно строят как композицию трех элементарных поворотов: вначале х-вращение, затем у-вращение и, наконец, г-вращение. Используя для каждого отдельного вращения обозначения, принятые в уравнениях (5.27)-(5.29), получим выражение для суммарного вращения: М-ДДОДДОВД,). (5.31)

В этом контексте углы Pj, Р2 и Р3 часто называют углами Эйлера1 (Euler angles). Одна формулировка теоремы Эйлера гласит, что любой трехмерный поворот может быть получен тремя вращениями вокруг осей х,уиг,и поэтому любое вращение может быть записано в виде специфического произведения пяти матриц при соответствующем выборе углов Эйлера (см. ниже). Из этого утверждения следует, что для полного задания поворота требуется три величины.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒