Классический способ. Разбиваем искомый поворот на последовательность знакомых шагов:

1. Выполним два поворота таким образом, чтобы вектор и совместился с осью х.

2. Выполним г-вращение на угол В.

3. Аннулируем два совмещающих поворота для восстановления исходного направления вектора и.

Френсис Хилл

Рис. 5.28. Поворот вокруг оси, проходящей через начало координат Этот метод напоминает поворот вокруг точки в двух измерениях. Первый шаг подготавливает условия для более простой и знакомой операции, затем эта простая операция выполняется, и, наконец, подготовительный этап аннулируется. Результат для трехмерного случая (он рассматривается в упраж1 Эта теорема иногда формулируется так: «Если заданы две прямоугольные системы координат с общим началом и произвольными направлениями осей, то всегда существует такая прямая, проходящая через начало координат, что одна система координат может быть совмещена с другой посредством поворота вокруг этой прямой».

Глава 5. Преобразования объектов нениях в конце раздела) заключается в том, что нужное преобразование требует перемножения пяти матриц: д.(р) - R„(-Q)R(<t>)R(Р)/г2(-0)/гу(9). (5.32)

Каждое умножение является поворотом вокруг одной из координатных осей. Такое преобразование является громоздким для выполнения вручную, однако удобно для воплощения в компьютерной программе. В то же время раскрытие произведения дает мало представления о том, как эти «ингредиенты» работают совместно.

Конструктивный способ. Используя некоторые векторные инструменты, можно получить более наглядное выражение для матрицы Ru($). В последнее время этот подход стал весьма популярен, и различные его варианты описаны несколькими авторами в GEMS I [Glassner, 5]. Мы используем вывод Мэйлота [Maillot, 135].

На рис. 5.29 показана ось вращения и, и нам нужно написать выражение для операции перехода точки Р в точку Q с помощью поворота на угол р. В данном методе, подробно описанном в тематическом задании 5.5, в плоскости вращения устанавливается двумерная система координат, как показано на рисунке. В этой системе координат два ортогональных вектора а и b располагаются в данной плоскости, и, как показано на рис. 5.29, б, точка Q выражается линейной комбинацией этих двух векторов. Выражение для Q включает в себя скалярные и векторные произведения различных «ингредиентов», зависящих от специфики задачи. Однако, поскольку каждый член линеен относительно координат точки Р, он может быть записан как произведение матрицы на Р.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒