M = SRHlH2. (5.51)

Тогда каждое трехмерное аффинное преобразование может рассматриваться как последовательность элементарных операций, за которыми следует перемещение. В данном тематическом задании мы исследуем, какой математический аппарат применяется в равенстве (5.51), и в результате увидим, как на деле осуществляется это разложение.

Полезные классы преобразований Полезно распределить аффинные преобразования по категориям в соответствии с тем, влияют они или не влияют на определенные свойства объекта, подвергающегося этим преобразованиям. Нам уже известно, что при таких преобразованиях всегда сохраняется параллельность ребер объекта, но какие преобразования сохраняют также длину каждого ребра, а какие из них сохраняют углы между каждой парой ребер?

Движения жесткой конструкции. Интуитивно понятно, что перемещение объекта или его поворот не изменяют его форму и размер. Кроме того, отражение объекта относительно плоскости также не влияет на его форму или размер. Поскольку ни одно из перечисленных преобразований по отдельности не влияет на форму объекта, то не влияет на нее и их любая композиция. Обозначим через

7\ j(1 = {повороты, отражения, перемещения}

множество всех аффинных преобразований, состоящих из произвольной последовательности поворотов, отражений и перемещений. Эти действия известны как движения жесткой конструкции (rigid-body motions), поскольку в этом случае из одной позиции и ориентации в другие перемещается жесткий объект. Такие преобразования имеют в однородных координатах ортогональные матрицы, то есть матрицы, для которых инверсия равносильна транспонированию: м-1=мТ.

Конформные преобразования (преобразования, сохраняющие углы). Равномерное масштабирование (у которого масштабные множители одинаковы: Sx = 5у= S) раздвигает или сжимает объект, но делает это равномерно, так что в форме объекта не происходит никаких изменений. В этом случае угол между двумя ребрами остается неизменным. Обозначим такой класс преобразований так: Т |С = {повороты, отражения, перемещения, равномерные масштабирования}.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒