Френсис Хилл

Рис. 6.37. Создание локальных систем координат вдоль хребтовой кривой Когда базис Френе вычислен, нетрудно найти матрицу преобразования М, которая переводит полигон основания трубки в его новую позицию и ориентацию в данном базисе. Эта матрица преобразования переводит мировую систему координат в новую систему. (Приводимые здесь рассуждения напоминают те, которые использовались в практическом упражнении 5.6.1 при преобразовании системы координат камеры в мировую систему координат.) Матрица М. должна переводить векторы i, j, к соответственно в векторы N(t), B(t), Т(г.) и должна перемещать начало координат из мировой точки в точку хребта С(г.). Поэтому матрица содержит столбцы, представляющие собой векторы N(r.), B(cj), Т(г.) и точку C(tt), выраженные в однородных координатах: '

М. = (N(Cj) | В(д | T(t) | ОД). (6.12)

Формирование базиса Френе Базис Френе в каждой точке вдоль кривой зависит от того, как эта кривая изгибается и закручивается. Этот базис выводится из соответствующих производных определяющей кривую функции С(г), так что он легко может быть сформирован после вычисления этих производных.

В частности, если выражение для кривой С(г) является дифференцируемой функцией, то можно взять ее производные и сформировать вектор C(f), касательный к кривой в каждой ее точке. Если компоненты кривой C(t) равны Cx(t), Cy(t), C2(t), то вектор производных C(t) = (Cx(t),Cy(t),Cx(t)Y Вектор C(f) указывает направление, куда «держит курс» кривая при каждом значении t; иными словами, в направлении касательной к кривой. Единичный касательный вектор (unit tangent vector) в точке t получается путем нормирования вектора С(г), то есть приведения его к единичной длине. Например, единичный касательный вектор для винтовой линии из уравнения (6.11) определяется формулой:

T(r) = -ri=T(-sin(r),cos(r),6). > (6.13) Этот касательный орт для различных значений t показан на рис. 6.38, а.

Если мы векторно умножим вектор из формулы (6.13) на любой неколлинеарный вектор, то мы должны получить вектор, перпендикулярный вектору Т(£) и, следовательно, перпендикулярный хребту кривой. (Почему?) Особенно удачным выбором является ускорение (acceleration), представляющее собой вторую производную C(t). Сформируем векторное произведение C(f)xC(f), и поскольку именно оно


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒