2. Подставить вместо х, у, г известные функции Х(и, ь), У(и, ь), 2{и, V). Этот способ будет проиллюстрирован в некоторых из последующих примеров.

6.5.3. Влияние аффинного преобразования Иногда нам придется работать с неявной и параметрической формами задания поверхности после того, как эта поверхность подверглась аффинному преобразованию. Нам также понадобится узнать, какое воздействие аффинное преобразование оказывает на нормаль.

Пусть это преобразование представлено в виде матрицы М размерностью четыре на четыре, а исходная поверхность задана в неявной форме (в терминах точек в однородных координатах) F (р) и в параметГлава 6. Моделирование поверхностей полигональными сетками рической форме Р(и,и) = (Х(и,ь),¥(и,ь)^(и,и)Л)т. Тогда параметрическая форма преобразованной поверхности, очевидно, примет вид МР(и,ь). (Почему?) Также нетрудно показать (см. ниже приведенные упражнения), что неявная форма преобразованной поверхности имеет вид:

Френсис Хилл

Далее, если исходная поверхность имеет нормальный вектор п(и, v), то преобразованная поверхность будет иметь нормаль, равную М'тп(и, v).

Предположим для примера, что мы преобразуем описанную выше плоскость, заданную уравнением f(P\ = n-P, где n-{nx,ny,nz,-Dy Преобразованная плоскость будет иметь следующую неявную форму: г'(Р} = п-(м~1Р\. Последнее выражение можно записать (см. упражнения ниже) в виде [м~тп)-Р, так что нормальный вектор преобразованной плоскости включает в себя обратную транспонированную матрицу, что согласуется с формулой для нормали к поверхности общего вида.

Практические упражнения

6.5.1. Неявная форма преобразованной поверхности Предположим, что все точки поверхности удовлетворяют уравнению f(p) = 0, а матрица M преобразует Р в Q, то есть Q = МР. Докажите, что любая точка Q преобразованной поверхности соответствует точке m~'q и что все такие точки удовлетворяют уравнению f\m~xq} - 0. Далее покажите, что из этого утверждения следует, что неявная форма преобразованной поверхности имеет вид f (g) = f(m~'Q^ .

6.5.2. Как изменяются нормальные векторы?


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒