Однополостный гиперболоид. Если а - Ъ, то такой гиперболоид становится поверхностью вращения, образованной посредством вращения гиперболы вокруг оси. Главные следы для плоскостей г = к являются эллипсами, а для плоскостей x"kny"k- гиперболами. Однополостный гиперболоид особенно интересен тем, что он является линейчатой поверхностью, как показано на рис. 6.62, а. Такая поверхность может получиться, если переплести нитью два параллельных эллипса так, как показано на рисунке. Формулы для образующих «нитей» рассматриваются в упражнениях.

Френсис Хилл

Рис. 6.62. Две линейчатые поверхности второго порядка Двуполостный гиперболоид. В диапазоне от х = -а до д: = а не находится никакой части данной поверхности. (Почему?) При а = Ъ эта поверхность становится поверхностью вращения. Следы для плоскостей х = к при \к\ > а являются эллипсами, а остальные главные следы - гиперболы.

Эллиптический конус. Эллиптический конус является частным случаем конуса общего вида, рассмотренного ранее: его генератор вычерчивает эллипс. Такой конус, разумеется, является линейчатой поверхностью, и его главные следы для плоскостей 2 = к - эллипсы. (Какой вид имеют следы для плоскостей, содержащих ось 2?) При а = Ъ данная поверхность второго порядка является поверхностью вращения: она превращается в прямой круговой конус.

Эллиптический параболоид. Следы эллиптического параболоида для плоскостей г = к > 0 являются эллипсами, а другие главные следы - параболы. При а = Ъ данная фигура становится поверхностью вращения.

6.5. Каркасные аппроксимации гладких объектов Гиперболический параболоид. Гиперболический параболоид иногда называют также седлообразной (saddle-shaped) поверхностью. Следы для плоскостей z=*k(k*Q) являются гиперболами, а для плоскостей х = k или y-k - параболами. (Какой вид имеет пересечение этой поверхности с плоскостью г - О?) Гиперболический параболоид также является линейчатой поверхностью (рис. 6.62, б).

Нормальные векторы к поверхностям второго порядка Поскольку неявная форма для каждой поверхности второго порядка обладает квадратичной зависимостью относительно х, у, z, получение градиента для нахождения нормалей не является проблемой. Кроме того, поскольку каждый компонент вектора градиента является линейным или даже постоянным относительно своей собственной переменной, нетрудно написать градиент в параметрической форме: достаточно просто подставить Х(и, v) вместо д; и т. д. Например, градиент от F(x,y, z) для эллипсоида имеет вид:


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒