Далее рассмотрим проекцию треугольника Г на плоскость с нормальным вектором п. Эта проекция Ґ задается проекциями векторов у'и^а его площадь составляет Area(7") =l/2|w' х v'|, откуда V х = 2 Агеа(Г) п. Теперь вычислим w' и v' и найдем выражение для Area (Г').

6.7. Тематические задания

Френсис Хилл

Рис. 6.68. Влияние ортогональной проекции на площадь

2. Используя идеи главы 4, покажите, что вектор v проецируется в вектор v' = v - (v • n) n и что, аналогично, w' = w - (w • n) п.

Таким образом, задача сводится к сравнению длин двух векторных произведений.

3. С помощью формул для v'hV докажите, что

v' х w' = v х w - (w • n) (v x n) + (v • n) (w x n) + (w • n) (v • n) (n x n) и объясните, почему последний член равен нулю. Тогда получим:

2 Агеа(Г') n = v х w - (w • n) (v x n) + (v • n) (w x n).

4. Умножьте скалярно обе части предыдущего уравнения на вектор п и покажите, что два последних члена исчезают, в результате чего получим 2 Агеа(Г') =■ v х w • п = 2Агеа (Г) m • п, что и требовалось доказать.

5. Докажите, что предыдущий результат обобщается на площадь любого плоского полигона Р и площадь его проекции Р'.

6. Исходя из того, что скалярное произведение пропорционально косинусу угла, докажите, что Area (7") = Агеа(Г) cos(0), и найдите выражение для угла ф.

7. Докажите, что площади Ах, Ау, Аг, определенные выше, равны соответственно Ктх, Кту, Ктг, где К - некоторая константа. Отсюда следует, что площади Ах, Ау, Аг пропорциональны тх, ту, т2.

Б. Теперь, чтобы найти вектор т, нужно просто вычислить вектор (Ах, Ау, А2) и нормировать его к единичной длине. Далее мы покажем, как вычислить площадь проекции полигона Р из равенства (6.50) на плоскость ху, непосредственно используя вершины полигона Р. Две другие спроецированные площади находятся аналогично.

Каждая трехмерная вершина Р. = (х, у{, г.) проецируется на плоскость ху как V. = (х., уг). На рис. 6.69 приведен пример спроецированного полигона Р". Каждое ребро полигона Р' определяет трапециевидную область, лежащую между этим ребром и осью х.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒