Прообразы и неподвижные точки Для развития интуиции по этим вопросам следует рассмотреть орбиту точки s согласно уравнению (9.13). Что будет, если процесс начнется в точке /(s) - образе (image) s? Тогда две орбиты будут иметь вид:

4 s,/(s),/2(s),/3(s),... (орбита s)

или

/<*). f\s), f\s), f\s),... (орбита /(s)), которые и в дальнейшем будут принимать одинаковые значения. Тогда, как упоминалось ранее, если орбита s конечна, то конечна и орбита его образа /(s). Действительно, все точки орбиты, если рассматривать их как их собственные стартовые точки, обладают орбитами с одинаковым поведением: они или все конечны, или все взрываются.

Поэтому можно «заранее» пойти другим путем и сказать, что любая стартовая точка, орбита которой проходит через точку s, ведет себя так же, как орбита, стартующая в самой точке s: эти две орбиты идентичны с этого момента и навсегда. Точка, стоящая в последовательности «непосредственно перед» точкой s, называется прообразом (preimage) точки s и равна значению функции, обратной к/(.) = (.)2 + с. Эта обратная функция равна ±*[z-c, откуда получим: два прообразаzравны ±\[z-c . (9.20)

Чтобы убедиться в правильности уравнения (9.20), отметим, что если любой прообраз пропустить через функцию (.)2 + с, то результат будет равен г.чЭтот тест приводится на рис. 9.45, а, где черными точками показана орбита s и отмечены оба прообраза точки s. Две орбиты этих прообразов «объединяются» в орбиту s. На самом деле каждый из этих прообразов тоже имеет два своих прообраза, а каждый из них - свои два, так что существует огромное число орбит, объединяющихся в орбиту точки s, после чего они идут по одному пути. Это «дерево» прообразов s изображено на рис. 9.45, б: точка s имеет два родительских прообраза, 4 прародительских и т. д. Вернувшись на k «поколений» назад, мы найдем там 2* прообразов.

Пример 9.7.2

Пусть с = -1. В предыдущем примере мы видели, что нулевая орбита равна 0, -1, 0, -1.....то есть совершает вечный цикл с периодом 2. Если мы рассмотрим прообразы 0 и каждый из их прообразов и т. д., то увидим, что существует много других значений, орбиты которых «втянуты» в этот 2-цикл:


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒