Для примера из уравнения (11.4) найдем функцию g(t), которая устранит скачок по скорости кривой. О Покажите, что функция

g(r) = t при t < а,

g(t) - (t + 2а) ß при t > а устраняет разрыв непрерывности в параметрическом представлении кривой, после чего эта кривая становится 1-гладкой.

О Покажите в общем случае, что скорость G'-непрерывной кривой P(t) имеет непрерывное направление. Это означает, что если дана функция g(t), такая что ее производная

d

непрерывна, то направление F(.) также является непрерывным. Подсказка. Может пригодиться следующее цепное правило для производных: F(g(t)) = (^(§(0)^(0. #'(g(0)g40) = ^(0(^(^(0). y'(g(t)), то есть множитель g'(r) одинаково влияет на оба компонента.

О Зададимся вопросом: зачем выдвигается требование «регулярности» репараметризации (герага-metrization). Рассмотрим пример, в котором параметризация нерегулярна [Bartels, 14]:

'(2t-t2,2t-t2), 0<г<1,

2 24 (11-8)

(2-2г + г2,2г-г2), 1<г<2.

Начертите эту кривую и ее скорость для каждого значения t. Обратите внимание на то, что при t - 1 направление скорости резко изменяется, однако при этом она повсюду остается непрерывной! Следовательно, если бы нерегулярные параметризации включались в определение G'-непрерывных кривых, то мы могли бы получить ситуацию, при которой 1-гладкая кривая не являлась бы С-непре-рывной. Объясните, почему это было бы нежелательно.

11.2. Описание кривых полиномами Полиномы - это фундаментальные математические объекты; их часто используют в компьютерной графике, поскольку они хорошо себя ведут и эффективны при вычислениях. В конце главы мы остановимся на отдельных формах полиномов; здесь же мы будем рассматривать взаимодействие между неявными и параметрическими формами простых полиномов.

P(t) =

Создание кривых и поверхностей

Для начала напомним: полиномом 1-й степени от t (L-th-degree polynomial in t) называется функция вида

a0 + att + a2t2 + ... + aLtL, (11.9)

где константы aQ, a,,..., aL - коэффициенты этого полинома, каждый из которых связан с одной из степеней г. Степенью (degree) полинома называется наибольшая степень, в которую возводится t. Для того чтобы в данном случае это была 1-я степень; необходимо, чтобы коэффициент aL не равнялся нулю. Порядком (order) полинома называется число его коэффициентов. (Здесь порядок равен (L + 1)). Порядок полинома всегда на единицу больше его степени.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒