3.6.2. Сколько ребер в N-розетке?
Докажите, что у розетки на базе ЛГ-угольника (ЛГ-розетки) N(N - 1)/2 ребер. Данное число совпадает с числом «звяканий», которые можно услышать, если каждый из N человек, сидящих за столом, чокнется бокалом со всеми остальными.
3.6.3. Розетки с простым числом сторон Если у ЛГ-розетки простое число сторон, то ее можно нарисовать без «поднятия пера», то есть с помощью одной команды ІіпеТоО. Начнем с вершины vQ и будем вести линию к каждой из остальных вершин в таком порядке: v{, vy vy до тех пор, пока снова не встретится vQ и многоугольник не будет замкнут. Затем пойдем снова по кругу рисовать линии, однако будем каждый раз пропускать одну вершину, то есть будем увеличивать индекс на два: vv vA, v6,v0. Для этого потребуется обойти круг дважды и снова вернуться к v0. (Над индексами совершается операция деления по модулю (modulo), так что их значения остаются в диапазоне от 0 до N- 1). Затем повторим эту процедуру, увеличивая индекс на три: v3, vff v9,…, v0. В процессе каждого повтора рисуется ровно N линий. Поскольку всего должно быть N(N- 1)/2 линий, то этот процесс рисования повторяется (N- 1)/2 раз. Кроме того, так как число вершин - простое число, ни одна конфигурация не повторится до конца рисования. Разработайте и протестируйте подпрограмму, рисующую розетки с простым числом сторон приведенным выше способом.
3.6.4. Розетки С нечетным числом сторон Если п - простое число, то мы уже знаем, что я-розетку можно нарисовать как одну ломаную линию без «поднятия пера». Кроме того, для любого нечетного я розетку также можно нарисовать как единую ломаную. Придумайте способ осуществления этого.
3.6.5. Геометрия пятиконечной звезды
Покажите, что длина каждого отрезка 5-розетки находится в золотом отношении к следующему меньшему отрезку. Один из способов решения этой задачи - убедиться в том, что треугольники в пятиконечной звезде (star pentagram) являются «золотыми треугольниками» с внутренним углом л/5 радиан. Покажите, что 2cos(rt/5) = ф, a 2cos(2tc/5) = 1/0. При другом подходе используются два семейства подобных треугольников из пентаграммы и уравнение ф3 = 2ф + 1, которому удовлетворяет ф (см. рис. 3.35, а).