Выпуклые комбинации векторов Выпуклые комбинации занимают важное место в математике и в многочисленных графических приложениях. Выпуклая комбинация (convex combination) возникает как дальнейшее ограничение аффинной комбинации: не только сумма коэффициентов линейной комбинации должна равняться единице, но каждый коэффициент, кроме того, должен быть неотрицательным. Таким образом, линейная комбинация из равенства (4.3) является выпуклой, если

Френсис Хилл

4.2. Обзор векторов

ai + a2+...+am-l (4.5)

и а{> 0 для i - \,...,т.

Следовательно, все а{ должны находиться между 0 и 1. (Почему?)

Таким образом, 0,3а + 0,7b является выпуклой комбинацией векторов а и Ь, в то время как 1,8а - 0,8b - нет. Совокупность коэффициентов ava2,...,am иногда называют разбиением единицы (partition of unity), подразумевая под этим, что единичное количество «материала» разбивается на части. Выпуклые комбинации зачастую возникают в приложениях, где кто-то составляет единичное количество некоторой «смеси» и может комбинировать только положительные количества различных ингредиентов. Такие комбинации появляются в самых неожиданных контекстах. Например, мы увидим в главе 11, что сплайн-кривые фактически являются выпуклыми комбинациями некоторых векторов, а в наших исследованиях цвета (в главе 12) узнаем, что любой цвет единичной яркости можно представить в виде выпуклой комбинации трех простых цветов!

Нам представляется полезным понятие «множество всех выпуклых комбинаций» некоторого набора векторов. Для двух векторов v4 и v2 множество всех выпуклых комбинаций представляет собой множество всех векторов вида

v = (1 - a)v, + av2, (4.6)

где параметр а может изменяться от 0 до 1. (Почему?) Что это за множество? Преобразуя равенство (4.6), получим:

v-yl+a(v3-yl). (4.7)

Френсис Хилл

Рис. 4.8. Множество векторов, представимых выпуклыми комбинациями На рис. 4.8, а показан вектор v, равный сумме v, и некоторой части от \2- v,, причем конец вектора v расположен на прямой, соединяющей v, и у2. Так как а изменяется от 0 до 1, конец v может занимать положения, совпадающие со всеми точками отрезка прямой, соединяющего концы v, и у2, и только эти положения.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒