На рис. 4.8, б показано множество всех выпуклых комбинаций трех векторов. Мы выбираем два параметра - а{ и а2, - оба лежащие в промежутке между 0 и 1, и составляем линейную комбинацию: Я = а,у1 + а2у2+(1 -<2,-а2)у3, (4.8)

в которой также необходимо, чтобы сумма а, и а2 не превышала единицы. Вектор v является выпуклой комбинацией, так как ни один из его коэффициентов не отрицателен, а в сумме они составляют единицу. Рисунок 4.8, б показывает три радиус-вектора v, - (2,6), у2 = (3,3) и у3 - (7,4). Соответствующим подбором а{ и а2 можно выразить любой вектор, оканчивающийся внутри затененного треугольника, а ни один из векторов, оканчивающийся вне этого треугольника, таким способом выражен быть не Глава 4. Векторные инструменты для графики может. Показано, например, как представить вектор Ь = 0,2у( + 0,5у2 + 0,Зу3 в виде векторной суммы трех взвешенных компонентов. Заметим, что он построен из «долей» трех составляющих векторов. Таким образом, множество всех выпуклых комбинаций этих трех векторов «охватывает» затененный треугольник. (Доказательство этого утверждения предлагается в качестве одного из упражнений.)

Если а2 = 0, то соответствующим подбором а, можно «добиться» выражения любого вектора, составленного из v, и у3 и оканчивающегося на прямой I. Например, вектор, оканчивающийся на 20 % расстояния между v, и у3 вдоль I, задается выражением 0,8у, + 0у2 + 0,2у3.

4.2.3. Модуль вектора; единичные векторы Если вектор \у представлен с помощью и-кортежа (да4, ш2,..., шп), то как определить и вычислить его модуль (или, что то же самое, какова его длина, или величина)? Обозначим модуль вектора символом |\у| и определим его как расстояние от начала до конца вектора. Согласно теореме Пифагора получаем:

\w\ = Jw2 +w\ +...+W2,. (4.9)

Например, модуль вектора w = (4, -2) равен V2Ô, а модуль вектора w = (1, -3,2) равен \/Ï4. Вектор нулевой длины обозначается 0. Отметим, что если w - вектор, идущий от точки А к точке В, то |w| будет равен расстоянию от А до В. (Почему?)


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒