Скалярное произведение (dot product) двух векторов легко определить и легко вычислить. Для двумерных векторов (а,, а2) и (6,, Ь2) это просто скаляр, величина которого равна aib[ + a2b2. Таким образом, для того чтобы вычислить скалярное произведение, надо перемножить соответствующие компоненты двух векторов и сложить результаты. Например, скалярное произведение векторов (3,4) и (1,6) равно 27, а для векторов (2,3) и (9, -6) оно равно 0.

Определение скалярного произведения легко обобщается на п измерений.

Определение скалярного произведения. Скалярное произведение двух w-мерных векторов v = (vv v2.....vn)

и w = (wt, w2,..., wn) обозначается v • w и имеет величину:

d = v- w= ^v,wr (4.11)

Пример 4.3.1

О Скалярное произведение (2, 3, 1) и (0, 4, -1) равно 11. О (2, 2, 2, 2)-(4, 1,2, 1,1)-16,2. О (1,0,1,0, 1). (0, 1,0, 1,0)- 0. О (169,0, 43)-(0,375,3, 0) = 0.

4.3.1. Свойства скалярного произведения Скалярное произведение обладает четырьмя главными свойствами, которые мы часто используем и которые с очевидностью следуют из его основного определения:

1. Симметрия (коммутативность): а • b = b • а.

2. Линейность (дистрибутивность): (а + с) • b = а • b + с • Ь.

3. Однородность (ассоциативность): (sa) • b = s(a • b).

4. |b|2 = b-b.

Первое свойство означает, что порядок, в котором следуют два вектора, не играет роли: скалярное произведение коммутативно (commutative). Из двух следующих свойств следует, что скалярное произведение линейно (linear): скалярное произведение суммы векторов можно выразить как сумму отдельных скалярных произведений, а масштабирование любого вектора масштабирует и величину скалярГлава 4. Векторные инструменты для графики ного произведения. В последнем свойстве утверждается, что скалярное произведение вектора на тот же вектор равно квадрату длины этого вектора. Это свойство часто записывают в форме: |b| = Vb-b.

Выкладки примера 4.3.2 показывают, как вышеприведенные свойства могут быть применены для упрощения выражений, содержащих скалярное произведение. Результаты будут непосредственно использованы в следующем разделе.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒