Часто бывает полезно масштабировать вектор так, чтобы результирующий вектор имел единичную длину. Такой способ масштабирования называется нормированием (normalizing) вектора, а нормированный вектор носит название единичного вектора (unit vector), или орта. Для примера создадим нормированный вариант вектора а, обозначаемый â, масштабируя а величиной 1/|а|:

N

Очевидно, что |â| = 1 (почему?) и â является единичным вектором, имеющим то же направление, что и а. Если, например, а = (3, -4), то |а| = 5, а его нормированный вектор â = (|, -j) • Иногда единичный вектор называют направлением (direction). Отметим, что любой вектор может быть записан в виде его модуля, умноженного на направление: если â - орт вектора а, то вектор а всегда можно записать так: а = |a|â.

Практические упражнения

4.2.1. Представление векторов в форме линейных комбинаций Обратимся к рис. 4.8. Какие величины или диапазон величин для я, и а2 создают следующие множества: О у,.

О Прямая, соединяющая vt и v2.

О Вектор, проходящий посередине между v2 и v3.

О Центроид (центр тяжести) треугольника.

4.2.2. Множество всех выпуклых комбинаций Докажите, что множество всех выпуклых комбинаций трех векторов v(, v2, и v3 - это множество векторов, концы которых расположены в «треугольнике», образованном концами этих трех векторов. Подсказка: каждая точка этого треугольника является комбинацией вектора v( и какой-нибудь точки, лежащей между векторами v2 и v3.

4.2.3. Вынесение скаляра за скобки Покажите, как масштабирование вектора v скаляром s изменяет длину v. Иными словами, докажите, что |sv| = |s| |v|. Отметим двойственное применение знака модуля 11: один раз для скаляра, а другой раз - для вектора.

4.3. Скалярное произведение

4.2.4. Нормирование векторов Нормируйте каждый из следующих векторов: О (1,-2,5). О (8, 6). О (4,3).

4.3. Скалярное произведение Имеются еще два мощных инструмента для работы с векторами - это скалярное произведение и векторное произведение. Результатом скалярного произведения является скаляр; векторное произведение имеет дело только с трехмерными векторами и его результатом является также вектор. В этом разделе дается обзор основных свойств скалярного произведения, главным образом рассматривается понятие перпендикулярности. Затем мы используем скалярное произведение для решения ряда важных геометрических задач графики. После этого вводится векторное произведение и также используется для решения ряда трехмерных геометрических задач.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒