Известно, что когда луч света отражается от зеркала, угол отражения должен равняться углу падения. Позднее мы покажем, как использовать векторы и проекции для вычисления направления, в котором отражается свет. Для простоты мы можем рассуждать в терминах двумерных векторов, но поскольку при выводе размерности векторов не фигурируют явно, полученный результат будет верен и для случая трех измерений при отражении от поверхности.

Френсис Хилл

Рис. 4.14. Отражение луча от поверхности Луч, изображенный на рис. 4.14 а, движется в направлении а, попадает на прямую Ь и отражается в направлении г, которое пока неизвестно. Вектор п перпендикулярен прямой. Угол 0( должен быть равен углу 02. Как связан вектор г с векторами а и п? На рис. 4.14, б показано разложение вектора а на две составляющие: т, параллельную п, и е, перпендикулярную п. Вследствие симметрии вектор г имеет

4.4. Векторное произведение двух векторов такой же компонент е, ортогональный к п, но противоположно направленный компонент, параллельный п, следовательно, г = е - т. Из равенства е = а - ш следует, что г = а - 2т. Поскольку т является ортогональной проекцией а на п, из уравнения (4.24) следует: т = ^Цг-п = (а-п)п. (4.26)

N

(Напомним, что п - это единичный вектор в направлении п.) Таким образом, мы получаем следующий результат: г - а - 2(а- й ) А (направление отраженного луча). (4.27)

В трехмерном случае, как того требует физика, направление отраженного луча г лежит в плоскости, построенной на векторах п и а. Равенство (4.27) удовлетворяет этому требованию, как мы впоследствии покажем в главе 5.

Пример 4.3.7

Пусть а - (4, -2) и Ь - (0,3). В этом случае из равенства (4.27) следует, что г = (4,2), как и следовало ожидать. И угол падения, и угол отражения равны ат^2.

Практические упражнения

4.3.13. Направление отражения Найти направление отражения для векторов а - (2,3) и п - (-2,1).

4.3.14. Длины векторов падения и отражения Используя равенство (4.27) и свойства скалярного произведения, докажите, что |г| = |а|.

4.4. Векторное произведение двух векторов


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒