Френсис Хилл

Рис. 4.15. Интерпретация векторного произведения Пример 4.4.2

Пусть а - (1,0,1), а Ь - (1,0,0). Эти векторы легко изобразить, так как оба они расположены в плоскости х - г. (Нарисуйте их.) Площадь параллелограмма, заданного векторами а и Ь, очевидно, равна единице. Поскольку вектор а х Ь ортогонален обоим векторам а и Ь, он должен быть параллельным оси у и, следовательно, пропорциональным ±]. Как в правосторонней, так и в левосторонней системе координат при повороте пальцев соответствующей руки от а к Ь большой палец указывает положительное направление оси у. Непосредственное вычисление согласно равенству (4.28) подтверждает правильность этих выводов, так как в данном случае а х Ь = ].

Практическое упражнение 4.4.7. Доказательство свойств Докажите три приведенные выше свойства векторного произведения.

4.4.2. Нахождение нормали к плоскости Как мы увидим в следующем разделе, иногда возникает необходимость вычислять компоненты вектора п, нормального к плоскости. Если известно, что эта плоскость проходит через три заданные точки, то эту задачу можно решить с помощью векторного произведения. Любые три точки Рх, Р2 и Р3 определяют единственную плоскость, если они не находятся на одной прямой. Это показано на рис. 4.16.

Для нахождения нормали к данной плоскости построим два вектора: а - Р2 - Р1 и Ь - Р3 - Р,. Их векторное произведение должно быть нормальным к векторам а и Ь, следовательно, оно нормально к каждой прямой, расположенной в этой плоскости. (Почему?) Поэтому это и есть искомый нормальный вектор. (Что произойдет, если все три точки лежат на одной прямой?) Произведение этого векторного произведения на любой скаляр также является нормальным вектором, в частности вектор Ь х а, имеющий направление, противоположное направлению а х Ь.

Глава 4. Векторные инструменты для графики

Френсис Хилл

Рис. 4.16. Нахождение плоскости по трем заданным точкам Пример 4.4.3

Найдите вектор, нормальный к плоскости, проходящей через точки (1,0,2), (2,3,0) и (1,2,4). Решение Непосредственным вычислением получаем: а = (2,3,0) - (1,0,2) = (1,3, -2), Ь = (1,2,4) - (1,0, 2) = - (0,2,2), откуда их векторное произведение п = (10, -2,2).


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒