Френсис Хилл

Рис. 4.19. Сложение точек - недопустимая операция Неудачный исход простой операции суммирования Р, + Р2, которая не приводит к тому, чтобы результат также был точкой, проиллюстрирован на рис. 4.19. Точки Р1 и Р2 показаны в двух системах координат, одна из которых смещена относительно другой. Рассматривая каждую точку как конец вектора, исходящего из начала координат, мы видим, что сумма Р, + Р2 дает в двух системах координат различные точки. Следовательно, Р, + Р2 зависит от выбора системы координат. Отметим для контраста, что аффинная комбинация 0,5(Р, + Р2) не зависит от такого выбора.

Точка плюс вектор - аффинная комбинация точек Существует другой способ изучения аффинных сумм точек, который интересен и сам по себе, а еще потому, что из него получается полезный инструмент для графики. Этот способ не требует использования однородных координат.

Рассмотрим формирование точки как смещение точки Л на вектор V, масштабированный скаляром г: А + го. Данное выражение представляет собой сумму точки и вектора, поэтому оно является истинной точкой. Если мы возьмем в качестве вектора V разность между некоторой точкой £ и Л (то есть у = В - Л), то мы получим точку которая также является истинной точкой. Теперь с помощью алгебраических преобразований перепишем уравнение (4.36) в виде равенства правая часть которого является аффинной комбинацией точек. (Почему?) Это придает смысл написанию аффинных сумм точек: в сущности, любая аффинная сумма может быть записана как точка плюс вектор (см. упражнения 4.5.1,4.5.2). Если вы еще не привыкли писать аффинную сумму точек в форме (4.37) (а мы будем часто ее использовать), то просто примите к сведению, что эта сумма означает точку, заданную уравнением (4.36).

Пример 4.5.1. Центроид треугольника Рассмотрим треугольник Г с вершинами Д Е и Т7, показанный на рис. 4.20. Воспользуемся приведенными выше идеями для доказательства того, что три медианы треугольника Г пересекаются в точке, расположенной на двух третях расстояния вдоль каждой медианы. Эта точка называется центроидом (центром тяжести)1 треугольника Т.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒