Р = А + г(£-Л),

(4.36)

Р=?£ + (1 -г)Л,

(4.37)

1 Упоминание о тяжести возникло потому, что если тонкую пластину вырезать в форме треугольника Г и подвесить за нить, прикрепленную в центроиде, то пластина удержит равновесие. Сила тяжести действует во все стороны относительно центроида одинаково, поэтому пластина сбалансирована.

Глава 4. Векторные инструменты для графики

Френсис Хилл

Рис. 4.20. Центр треугольника как аффинная комбинация По определению, медиана из точки И есть прямая, проведенная из вершины В в середину противоположной стороны. Тогда (7 - (Е + /г)/2. Прежде всего выясним, где находится точка, отмеряющая две трети расстояния от Б до С Применяя параметрическую форму, мы видим, что искомая точка должна иметь вид В + ((7 - где г - 2/3, что приводит к следующей аффинной комбинации:

(Проверьте это!) Это - замечательное деление [Pedoe, 70]: поскольку результат симметричен относительно точек D, Е и F, то он должен также составлять две трети длины медианы, считая от Е, и две трети длины медианы, считая от F. Следовательно, в точке С встречаются три медианы, и эта точка является центроидом.

Данный результат имеет красивое обобщение для правильного JV-стороннего многоугольника: его центр является просто средним значением местоположений всех его N вершин, иначе говоря, аффинной комбинацией. Для произвольного многоугольника центроид имеет более сложную формулу.

Практические упражнения

4.5.1. Любая аффинная комбинация точек - истинная точка Рассмотрим три скаляра: а, Ъ и с, которые в сумме равны единице, и три точки: А, В к С. Аффинная комбинация аА + ЬВ + сС является истинной точкой, так как, приняв с - 1 - а - Ь, мы видим, что данное выражение равно аА + ЬВ + (1 - a- b)C - С+ а(А - С) + Ь(В - С), то есть сумме точки и двух векторов. (Проверьте это!) Для обобщения покажите для данной аффинной комбинации точек wlAl + zeyl., + ... + wnAH, где да, + w2 + ... + wn = 1, что она может быть записана в форме суммы точки и вектора и поэтому является истинной точкой.

4.5.2. Смещение системы координат


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒