Точка F называется неподвижной (fixed) точкой аффинного преобразования Т(р) - Мр, если T(F) = F, иными словами, если точка F удовлетворяет уравнению MF= F.

а) Докажите, что когда третий столбец матрицы М равен (0, 0, 1), так что перемещения нет, то начало отсчета всегда является неподвижной точкой преобразования Т.

б) Докажите, что если F- неподвижная точка преобразования Т, то для любой точки Р справедливо равенство Т(Р) - М(Р - F) + F.

в) Что является неподвижной точкой при повороте относительно точки V? Докажите, что эта точка удовлетворяет условиям из пункта б).

г) Что является неподвижной точкой при масштабировании с масштабными множителями Sx и 5у относительно точки V?

д) Рассмотрите «пятую итерацию» Т( ), приложенную к точке Р, задаваемую формулой Д= Т(Т(Т (Т(Т(Р))))).

(Вспомните системы итерируемых функций, описанные в конце главы 2). Используйте результат пункта б), чтобы показать простую форму вывода точки R в терминах неподвижной точки F преобразования Т( ), а именно R - М\Р - F) + F.

5.2.18. Нахождение матриц Напишите явную форму матрицы размером три на три, представляющую каждое из следующих преобразований: а) Масштабирование с множителем 2 в лг-направлении с последующим поворотом относительно точки (2,1).

б) Масштабирование на (2, 3) с последующим перемещением на (1,1).

в) Сдвиг на 30 % по х, масштабирование в 2 раза в х-направлении с последующим поворотом относительно (1,1) на 30°.

5.2.19. Нормирование прямоугольника Найдите аффинное преобразование, которое отображает прямоугольник с вершинами (0,0), (2,1), (0,5) и (-2,4) в квадрат с вершинами (0, 0) (1, 0), (1,1) и (0,1). Нарисуйте эти фигуры.

Глава 5. Преобразования объектов

5.2.20. Коммутативность некоторых преобразований Докажите, что равномерное масштабирование коммутативно с поворотом в том смысле, что результирующее преобразование не зависит от порядка, в котором применяются отдельные преобразования. Покажите также, что два перемещения коммутативны, так же как и два масштабирования. Наконец, докажите, что дифференцированное масштабирование не коммутативно с поворотом.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒