5.2.21. Отражение плюс поворот
Докажите, что отражение относительно х с последующим отражением относительно у эквивалентно повороту на 180°.
5.2.22. Два последовательных поворота Пусть i?(6) обозначает преобразование, производящее поворот на угол 6. Докажите, что последовательное применение i?(6() и i?(62) эквивалентно применению одного поворота i?(9, + 62). Иным» словами, покажите, что последовательные повороты являются аддитивными.
5.2.23. Последовательность сдвигов Скомпонуйте преобразование из чистого сдвига вдоль оси х и следующего за ним чистого сдвига вдоль оси у. Является ли оно по-прежнему сдвигом? Нарисуйте от руки пример того, что произойдет с квадратом, имеющим центр в начале отсчета, если его подвергнуть, в одном случае, одновременному сдвигу, а в другом - последовательности сдвигов вдоль двух осей.
5.2.7. Некоторые полезные свойства аффинных преобразований Мы уже видели, как представить двумерные аффинные преобразования в виде матриц, как составлять сложные преобразования из последовательности элементарных преобразований, а также какой геометрический эффект имеют различные двумерные аффинные преобразования. Прежде чем перейти к трехмерным преобразованиям, полезно резюмировать ряд общих свойств аффинных преобразований. Эти свойства легко формулируются, а так как размерность преобразуемых объектов специально не оговаривается, то они применимы и к трехмерным аффинным преобразованиям. Единственное, что нам сейчас следует знать о трехмерных преобразованиях, это то, что они, подобно своим двумерным аналогам, могут быть представлены в однородных координатах в матричной форме.
При аффинных преобразованиях сохраняются аффинные комбинации точек Известно, что аффинной комбинацией двух точек Р, и Р2 является точка W =а1Р1 + а2Р2, для которой а( + а2= 1. Что произойдет, если применить к такой точке ^аффинное преобразование Г( )? Мы утверждаем, что T(W) является той же самой аффинной комбинацией преобразованных точек; то есть
Т(а^ + а2Р2) = а, ДР,) + а2Т(Р2). (5.19) Например, 7X0,7(2,9) + 0,3(1, 6)) = 0,7Г((2,9)) + 0,ЗГ((1,6)).