Доказательство этого утверждения в общем виде основано на его линейности. При использовании однородных координат мы видим, что точка T(W) есть MW, откуда из линейности произведения матриц следует:

MW- М(а,Р, + а2Р2) = ахМРх + а2МР2, что в обычных координатах и есть a{T(Pt) + а2Т(Р2), что и требовалось доказать. Свойство аффинных преобразований, состоящее в том, что аффинные комбинации точек сохраняются в результате аффинных преобразований, выглядит элементарным и абстрактным, однако оно является основой всей мощи аффинных преобразований. Иногда это свойство берется в качестве определения аффинного преобразования.

5.2. Введение в преобразования При аффинных преобразованиях сохраняются прямые линии и плоскости При аффинных преобразованиях сохраняются коллинеарность и «плоскостность», поэтому образом прямой линии является также прямая линия. Чтобы убедиться в этом, напомним, что параметрическое представление L(t) прямой, проходящей через точки A vi В, само является аффинной комбинацией А и В:

L(t)-(\-t)A + tB.

Это равенство представляет собой аффинную комбинацию точек, поэтому из предыдущего результата следует, что образ L(t) является той же самой аффинной комбинацией образов точек A vi В:

Q(0 - (1 - t)T(A) + tT(B). (5.20)

Эта формула является уравнением другой прямой линии, проходящей через точки Т(А) и Т(В). Использование этого обстоятельства в компьютерной графике значительно упрощает рисование преобразованных отрезков прямой: достаточно просто вычислить две преобразованные концевые точки Тел) и Т(В) и затем провести между ними прямую линию! Это избавляет от необходимости преобразовывать каждую точку вдоль этой прямой, что совершенно невозможно.

С помощью тех же аргументов можно доказать, что плоскость преобразуется в другую плоскость. Вспомним уравнение (4.45), где было дано параметрическое представление плоскости как аффинная комбинация точек:

P(s,t) = sA + tB + (l -s-t)C.

После преобразования каждой точки это уравнение примет следующий вид:

T(P(s, 0) - sT(A) + tT(B) + ( 1 - s - t)T(C),


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒