Какую параметрическую форму имеет сфера с радиусом R и центром в точке (а, Ь, с)?

Из географии известно, что определенные контуры на сфере имеют общепринятые названия: и-кон-туры называются меридианами (meridians), а а-контуры - параллелями (parallels), как показано на рис. 6.46, в. (Отметим, что из-за классического определения сферических координат, параллелей и Чтобы охватить все точки на сфере, промежуток изменения и должен быть полуоткрытым: [0, 2л), а промежуток изменения V -замкнутым: [-я/2, я/2]. - Примеч. пер.

Глава 6. Моделирование поверхностей полигональными сетками меридианов сфера вынуждена лежать на боку. Это связано с привычкой рисовать трехмерные фигуры с осью у, указывающей вверх.)

Для данной фигуры возможны различные параметрические представления. Альтернативная параметрическая форма для сферы исследуется в упражнениях в конце раздела.

Что же представляет собой нормальное направление п(и, v) к поверхности сферы в точке, определяемой парой параметров (и, v)? Интуитивно можно предположить, что данный нормальный вектор всегда направлен «по радиусу наружу», так что он должен быть параллелен радиус-вектору из начала координат в данную точку. Это подтверждается и уравнением (6.28): градиент равен 2(х, у, г), то есть пропорционален Р. Применяя параметрическую форму, получим из уравнения (6.29): п(и, v) = -cos(v) р(и, v), откуда следует, что вектор п(и, v), как и ожидалось, параллелен р(и, v). Масштабный множитель, равный -cos(v), исчезнет при нормировании вектора п. Мы должны удостовериться, что в качестве нормали нужно использовать вектор р(и, v), а не -р(и, v), чтобы этот вектор действительно указывал по радиусу наружу.

Базовый цилиндр Назовем «базовым» такой цилиндр, у которого ось совпадает с осью z, поперечное сечение является окружностью единичного радиуса, а сам цилиндр простирается вдоль оси z от 0 до 1, как показано на рис. 6.47, а. Удобно рассматривать такой цилиндр в качестве представителя большого семейства конических цилиндров (tapered cylinders), как это уже делалось в главе 5. На рис. 6.47, б показан «базовый» конический цилиндр, «меньший радиус» которого составляет s при 2=1.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒