В.4. Ранг матрицы В математическом обеспечении систем компьютерной графики матрицы используются в первую очередь для представления точек, векторов и геометрических преобразований этих объектов. Часто возникает задача определить, является ли преобразование, описанное квадратной матрицей, обратимым. Так, если имеется преобразование Я = Ар, желательно знать, существует ли квадратная матрица В, такая, что р = ВЧ.

Подставляя исходное выражение для q, получим р = Вя = ВАр = 1р = р, из чего следует, что ВА = 1

Если матрица В существует, то она называется обратной матрице А, а матрица А является невырожденной (неособенной). Матрица А, для которой не существует обратная, называется вырожденной (особенной). Матрица, обратная А, обозначается А"1.

Фундаментальное утверждение относительно обратных матриц гласит следующее: Матрица, обратная заданной квадратной матрице, существует тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы не равен нулю.

Вычисление определителя матрицы А (он обозначается |А|) для матриц порядка более высокого, чем второй, требует практически столько же вычислительных операций, сколько и вычислений обратной матрицы. Оценка сложности вычислений для матрицы порядка п имеет вид 0(п). Для матриц второго, третьего и четвертого порядков, которые преимущественно используются в математическом обеспечении систем компьютерной графики, можно довольно быстро вычислить определитель, воспользовавшись правилом Крамера. Получив значение Приложение В. Матрицы определителя, можно выполнить обращение матрицы. Но обращение матриц преобразования можно провести и на основе геометрических соображений. Например, матрица, обратная матрице сдвига, задает сдвиг на то же расстояние, но в обратном направлении. Подобные варианты мы рассматривали в главе 4.

Для прямоугольных матриц общего вида особое значение имеет понятие ранга матрицы. Квадратную матрицу можно рассматривать как матрицу-строку, элементами которой являются матрицы-столбцы, или как матрицу-столбец, элементами которой являются матрицы-строки. В терминах векторного пространства, которое мы рассматривали в приложении Б, строки матрицы размера пх т есть элементы евклидова пространства К"', в то время как столбцы есть элементы пространства К". Можно проанализировать, сколько строк (или столбцов) матрицы являются линейно-независимыми. Ранг матрицы по строкам (по столбцам) есть максимальное количество линейно-независимых строк (столбцов). Следовательно, для любой матрицы размера пх п ранг по строкам равен рангу по столбцам и матрица является неособенной тогда и только тогда, когда ее ранг равен п. Таким образом, справедливо утверждение, что матрицу можно обратить в том и только в том случае, если ее строки (и столбцы) являются линейно-независимыми.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒