В.5. Изменение представления С помощью матриц можно представить изменение базиса любого множества векторов, удовлетворяющих правилам, сформулированным в Приложении Б. Предположим, что имеется /7-мерное векторное пространство. Пусть {//,, 7/2,//„} и {Г|, г2,V,,} -два базиса в этом векторном пространстве. Тогда некоторый вектор V можно представить в виде у-ахих +а,//, + ... + аим„

или в виде у = Р,1', +р\и, + ... + Риу„.

Следовательно, (а,, а2,а„) и (Рь р2,Р„) - два представления вектора г, причем каждое из них можно выразить в виде матрицы-столбца размера п х 1. Но работая с таким представлением, нужно очень внимательно относиться к обозначениям, которые должны однозначно отображать разницу в представлениях. Представление V можно записать либо в виде у = [а, а2 ... а,,]7, либо в виде

v = [P1 Р2 ... Р.]'.

Разница в обозначениях соответствует разнице базисов, в которых представляется вектор.

Теперь рассмотрим, каким образом можно перейти от представления V к представлению V1. Векторы базиса (г,, г2, V,,} можно выразить в базисе {//ь и2, //„} Следовательно, существует множество скаляров у,п таких, что и1 = у,х\\ +У,2г: +-" + У,Л' ' = 1.....

Это выражение для всех //( можно записать в матричной форме следующим образом:

«1

и2

= А

//„ 1',,

В.5. Изменение представления где матрица А является квадратной матрицей порядка п: А-[Т.]Оба представления - и V. и у' - можно выразить через матрицы-столбцы у = а где

*=[<*,]

Можно следующим образом определить Ь: Ь = [Р\] и выразить у' в виде и=Ь7

Матрица А связывает два базиса, и прямой подстановкой получим Ьг=а'А.

Таким образом, матрица А позволяет выполнять преобразование представления векторов в одном базисе в представление в другом базисе.

В.6. Векторное произведение Для двух непараллельных векторов и и г в трехмерном пространстве векторное произведение определяет третий вектор її, ортогональный двум первым. Независимо от формы представления векторов, справедливо равенство и> // = и> V = 0.


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒