Найдите параметрическую форму для ленты Зёбиуса, изображенной на рис. 6.55, б. (Подсказка. Поверните прямую вокруг оси z и при этом перекрутите ее во время поворота прямой.) Описывается ли лента Зёбиуса парой уравнений Р0(ы) = (cos(2pM), sin(2j7M), и) и P((m) = (cos(2pM), sin(2j7M), 1 - и)?

6.5.15. Является ли комбинация аффинной?

Докажите, что лоскут Кунса из уравнения (6.39) составлен из аффинных комбинаций точек.

Глава б. Моделирование поверхностей полигональными сетками

6.5.16. Действительно ли происходит интерполяция?

Проверьте и убедитесь, что кривая Р(и, v) из уравнения (6.39) интерполирует каждую из четырех граничных кривых и поэтому интерполирует каждый из четырех углов.

6.5.7. Поверхности вращения Как уже описывалось ранее, поверхность вращения образуется посредством вращательной развертки с заметанием (rotational sweep) профильной кривой С вокруг некоторой оси. Пусть мы поместили этот профиль в плоскость хг и задали его параметрически следующим образом: C(v) = (X(v), Z(v)). Для создания поверхности вращения мы поворачиваем этот профиль вокруг оси z, изменяя параметр и, где и определяет угол, под которым каждая точка повернута относительно оси. Как и прежде, различные положения кривой С вокруг оси называются меридианами. Когда точка (X(v), 0, Zip)) поворачивается на и радиан, она становится точкой (X(v) cos(m), X(v) sin(m), z(v)). Полный поворот кривой образует полный круг, следовательно, контуры при постоянном v являются окружностями, которые называются параллелями этой поверхности1. Параллель для каждого значения V имеет радиус X(v) и располагается на высоте Z(v) над плоскостью ху. Тогда произвольная точка поверхности задается выражением: Р(и, v) = (X(v) cos(m), X(v) sin(m), z(v)). (6.40)

Базовые сфера, конический цилиндр и конус являются известными частными случаями поверхности вращения. (Что представляют собой их профили?)

Нормальный вектор к поверхности вращения легко может быть найден простой подстановкой уравнения (6.40) в уравнение (6.25) (см. упражнения в конце раздела). Отсюда следует:


⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒